حل تمرین صفحه 35 ریاضی ششم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۳۵ ریاضی ششم برای تقسیم کسرها، از قانون **ضرب در معکوس کسر دوم** استفاده می‌کنیم. در صورت امکان، قبل از ضرب، ساده‌سازی انجام می‌دهیم. ### ۱. تقسیم کسرها * **🔴 $\frac{۳}{۵} \div \frac{۹}{۱۰}$:** $$\frac{۳}{۵} \times \frac{۱۰}{۹} = \frac{\mathbf{۱}}{\mathbf{۱}} \times \frac{\mathbf{۲}}{\mathbf{۳}} = \mathbf{\frac{۲}{۳}}$$ * **توضیح:** $ ext{۳}$ با $ ext{۹}$ بر $athbf{۳}$، و $ ext{۱۰}$ با $ ext{۵}$ بر $athbf{۵}$ ساده شدند. * **🔴 $\frac{۵}{۱۲} \div \frac{۵}{۸}$:** $$\frac{۵}{۱۲} \times \frac{۸}{۵} = \frac{\mathbf{۱}}{۱۲} \times \frac{۸}{\mathbf{۱}} = \frac{۸}{۱۲}$$ * **ساده‌سازی:** $\frac{۸}{۱۲} \div \frac{۴}{۴} = \mathbf{\frac{۲}{۳}}$ * **🔴 $\frac{۲۵}{۳۶} \div \frac{۱۵}{۴۸}$:** $$\frac{۲۵}{۳۶} \times \frac{۴۸}{۱۵} = \frac{\mathbf{۵}}{\mathbf{۳}} \times \frac{\mathbf{۴}}{\mathbf{۳}} = \frac{۲۰}{۹}$$ * **توضیح:** $ ext{۲۵}$ با $ ext{۱۵}$ بر $athbf{۵}$، و $ ext{۴۸}$ با $ ext{۳۶}$ بر $athbf{۱۲}$ ساده شدند. * **🔴 $\frac{۱}{۳} \div \frac{۱}{۳}$:** تقسیم هر عدد بر خودش ($athbf{a \div a}$) $$\frac{۱}{۳} \times \frac{۳}{۱} = \mathbf{۱}$$ * **🔴 $\frac{۱}{۴} \div \frac{۱}{۹}$:** $$\frac{۱}{۴} \times \frac{۹}{۱} = \mathbf{\frac{۹}{۴}} \quad (\text{یا } \mathbf{۲\frac{۱}{۴}})$$ ### ۲. تقسیم عدد صحیح و عدد مخلوط * **🔴 $۲ \div \frac{۱}{۸}$:** ($\frac{۲}{۱} \div \frac{۱}{۸}$) $$\frac{۲}{۱} \times \frac{۸}{۱} = \frac{۱۶}{۱} = \mathbf{۱۶}$$ * **🔴 $\frac{۳}{۴} \div ۱$:** تقسیم هر عدد بر $ ext{۱}$، خود عدد است. $$\frac{۳}{۴} \div \frac{۱}{۱} = \frac{۳}{۴} \times \frac{۱}{۱} = \mathbf{\frac{۳}{۴}}$$ * **🔴 $۲\frac{۴}{۱۰} \div \frac{۲}{۵}$:** 1. **تبدیل:** $۲\frac{۴}{۱۰} = \frac{۲۴}{۱۰}$. $\frac{۴}{۱۰}\$ به $rac{۲}{۵}$ ساده می‌شود، پس $۲\frac{۲}{۵} = \frac{۱۲}{۵}$. 2. **محاسبه:** $$\frac{۱۲}{۵} \div \frac{۲}{۵} = \frac{۱۲}{۵} \times \frac{۵}{۲} = \frac{۱۲}{۲} = \mathbf{۶}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۳۵ ریاضی ششم این یک مسئله‌ی **تقسیم** است. برای پیدا کردن تعداد بسته‌ها، باید وزن کل چای را بر وزن هر بسته تقسیم کنیم. **$$ \text{تعداد بسته‌ها} = \text{وزن کل چای} \div \text{وزن هر بسته} $$** * **عملیات:** $\mathbf{۴ \div \frac{۲}{۵}}$ 1. **تبدیل به ضرب در معکوس:** $$۴ \div \frac{۲}{۵} = \frac{۴}{۱} \times \frac{۵}{۲}$$ 2. **ساده‌سازی و ضرب:** $\text{۴}$ از صورت و $ ext{۲}$ از مخرج بر $athbf{۲}$ ساده می‌شوند. $$\frac{\mathbf{۲}}{۱} \times \frac{۵}{\mathbf{۱}} = \frac{۱۰}{۱} = \mathbf{۱۰}$$ **پاسخ:** $athbf{۱۰}$ بسته چای داریم.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۳۵ ریاضی ششم قانون تقسیم کسرها: **$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$$** برای اینکه حاصل $\frac{۲}{۳}$ شود، باید حاصل ضرب صورت‌های کسر اول در مخرج کسر دوم ($athbf{a \times d}$) برابر $athbf{۲}$ و حاصل ضرب مخرج کسر اول در صورت کسر دوم ($athbf{b \times c}$) برابر $athbf{۳}$ باشد. ### ۱. ساده‌ترین حالت * **صورت‌ها:** $a \times d = ۲ \rightarrow \mathbf{۲} \times \mathbf{۱}$ * **مخرج‌ها:** $b \times c = ۳ \rightarrow \mathbf{۳} \times \mathbf{۱}$ * **حالت ۱:** $\frac{a}{b} = \frac{۲}{۳} و $\frac{c}{d} = \frac{۱}{۱}$ ($\frac{۲}{۳} \div \frac{۱}{۱} = rac{۲}{۳}$) $$\mathbf{\frac{۲}{۳}} \div \mathbf{\frac{۱}{۱}} = \frac{۲}{۳}$$ ### ۲. حالت دیگر (مخالف) * **حالت ۲:** از اعدادی استفاده می‌کنیم که صورت‌ها و مخرج‌ها یکسان نباشند، ولی حاصل ضربشان یکسان باشد. * $a \times d = ۸ \div ۴ = ۲$ (به صورت $\frac{۸}{۴}$ که $rac{۲}{۱}$ است) * $b \times c = ۹ \div ۳ = ۳$ (به صورت $\frac{۹}{۳}$ که $rac{۳}{۱}$ است) * **حالت ۲:** $\frac{a}{b} = \frac{۴}{۳}$ و $\frac{c}{d} = \frac{۲}{۳}$ ($rac{۴}{۳} \div rac{۲}{۳} = rac{۴}{۲} = ۲$) **اشتباه شد! باید حاصل $\frac{۲}{۳}$ باشد. دوباره امتحان می‌کنیم.** * **حالت ۲:** $a \times d = ۶, b \times c = ۹$. $\frac{۶}{۹} = \frac{۲}{۳}$. * $\frac{a}{b} = \frac{۲}{۳}$ و $\frac{c}{d} = \frac{۳}{۳}$ (نمی‌شود) * $\frac{a}{b} = \frac{۳}{۳}$ و $\frac{c}{d} = \frac{۳}{۲}$ ($rac{۳}{۳} \div rac{۳}{۲} = ۱ \times rac{۲}{۳} = rac{۲}{۳}$) $$\mathbf{\frac{۳}{۳}} \div \mathbf{\frac{۳}{۲}} = \frac{۲}{۳}$$ **پاسخ‌های پیشنهادی:** $athbf{\frac{۲}{۳}} \div \mathbf{۱}$ یا $athbf{۱} \div \mathbf{۱\frac{۱}{۲}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۳۵ ریاضی ششم این یک مسئله‌ی **تقسیم** است. برای پیدا کردن تعداد لیوان‌ها، باید حجم کل دوغ را بر گنجایش هر لیوان تقسیم کنیم. **$$ \text{تعداد لیوان‌ها} = \text{حجم کل دوغ} \div \text{گنجایش هر لیوان} $$** * **عملیات:** $\mathbf{\frac{۹}{۱۰} \div \frac{۱۵}{۱۰۰}}$ 1. **تبدیل به ضرب در معکوس:** $$\frac{۹}{۱۰} \div \frac{۱۵}{۱۰۰} = \frac{۹}{۱۰} \times \frac{۱۰۰}{۱۵}$$ 2. **ساده‌سازی و ضرب:** * $ ext{۱۰۰}$ و $ ext{۱۰}$ بر $athbf{۱۰}$ ساده می‌شوند: $\frac{\mathbf{۹}}{\mathbf{۱}} \times \frac{\mathbf{۱۰}}{۱۵}$ * $ ext{۹}$ و $ ext{۱۵}$ بر $athbf{۳}$ ساده می‌شوند: $\frac{\mathbf{۳}}{\mathbf{۱}} \times \frac{۱۰}{\mathbf{۵}}$ * $ ext{۱۰}$ و $ ext{۵}$ بر $athbf{۵}$ ساده می‌شوند: $\frac{۳}{۱} \times \frac{\mathbf{۲}}{\mathbf{۱}} = \frac{۶}{۱} = \mathbf{۶}$ **پاسخ:** $athbf{۶}$ لیوان را می‌توان پر کرد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۳۵ ریاضی ششم این یک مسئله‌ی **تقسیم کسر بر عدد صحیح** است. تقسیم بر $athbf{۳}$ همان ضرب در $athbf{\frac{۱}{۳}}$ (معکوس $ ext{۳}$) است. **$$ \text{طول هر قسمت} = \text{طول کل روبان} \div \text{تعداد قسمت‌ها} $$** * **عملیات:** $\mathbf{\frac{۸}{۹} \div ۳}$ 1. **تبدیل به ضرب در معکوس:** $$\frac{۸}{۹} \div \frac{۳}{۱} = \frac{۸}{۹} \times \frac{۱}{۳}$$ 2. **ضرب:** $$\frac{۸ \times ۱}{۹ \times ۳} = \mathbf{\frac{۸}{۲۷}}$$ **پاسخ:** طول هر قسمت $athbf{\frac{۸}{۲۷}}$ متر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۳۵ ریاضی ششم این یک مسئله‌ی **تقسیم عدد صحیح بر کسر** است. "نیم‌لیتر" یعنی $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ لیتر. **$$ \text{تعداد بطری‌ها} = \text{حجم کل شیر} \div \text{حجم هر بطری} $$** * **عملیات:** $\mathbf{۴ \div \frac{۱}{۲}}$ 1. **تبدیل به ضرب در معکوس:** $$۴ \div \frac{۱}{۲} = \frac{۴}{۱} \times \frac{۲}{۱}$$ 2. **ضرب:** $$\frac{۴ \times ۲}{۱ \times ۱} = \mathbf{۸}$$ **پاسخ:** $athbf{۸}$ بطری شیر داریم.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۳۵ ریاضی ششم هدف این تمرین، درک مفهومی تقسیم عدد صحیح بر کسر است. $athbf{۲ \div \frac{۲}{۵}}$ یعنی: "در $athbf{۲}$ واحد کامل، چند تا بسته‌ی $\mathbf{\frac{۲}{۵}}$ تایی وجود دارد؟" ### ۱. رسم شکل 1. **رسم $athbf{۲}$ واحد:** $ ext{دو}$ مستطیل مساوی رسم می‌کنیم. 2. **تقسیم واحدها:** هر واحد را بر اساس مخرج کسر ($athbf{۵}$) به $athbf{۵}$ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم. در مجموع $athbf{۱۰}$ قسمت خواهیم داشت. 3. **بسته‌بندی:** قسمت‌ها را به دسته‌های $athbf{\frac{۲}{۵}}$ تایی (هر دسته $athbf{۲}$ قسمت) گروه‌بندی می‌کنیم. $$\text{از } \mathbf{۱۰} \text{ قسمت، } \text{۱۰} \div \text{۲} = \mathbf{۵} \text{ دسته‌ی $\frac{۲}{۵}$ تایی تشکیل می‌شود.}$$ ### ۲. محاسبه‌ی عددی (برای تأیید) $$۲ \div \frac{۲}{۵} = \frac{۲}{۱} \times \frac{۵}{۲} = \frac{۱\text{ (ساده شده)} \times ۵}{۱ \times ۱} = \mathbf{۵}$$ **پاسخ:** $athbf{۵}$ دسته‌ی $\frac{۲}{۵}$ تایی در $athbf{۲}$ واحد وجود دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۳۵ ریاضی ششم ### ۱. طرح مسئله (تقسیم کسر بر عدد صحیح) **مسئله پیشنهادی:** «مادر $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ (نصف) کیک تولد را برای پنج نفر از بچه‌ها باقی گذاشت. اگر قرار باشد هر نفر به طور مساوی از این کیک باقی‌مانده سهم ببرد، **به هر نفر چه کسری از کل کیک می‌رسد؟**» ### ۲. حل مسئله **$$ \text{مقدار سهم هر نفر} = \text{مقدار باقی‌مانده} \div \text{تعداد نفرات} $$** * **عملیات:** $\mathbf{\frac{۱}{۲} \div ۵}$ 1. **تبدیل به ضرب در معکوس:** $$\frac{۱}{۲} \div \frac{۵}{۱} = \frac{۱}{۲} \times \frac{۱}{۵}$$ 2. **ضرب:** $$\frac{۱ \times ۱}{۲ \times ۵} = \mathbf{\frac{۱}{۱۰}}$$ **پاسخ:** به هر نفر $\mathbf{\frac{۱}{۱۰}}$ از کل کیک می‌رسد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۳۵ ریاضی ششم برای اینکه حاصل تقسیم یک کسر بر عددی مجهول، **بزرگتر از $\mathbf{۱}$** شود، باید مقسوم علیه ($athbf{\square}$) **کوچک‌تر از مقسوم** ($athbf{\frac{۵}{۲}}$) باشد. * **مقسوم:** $\mathbf{\frac{۵}{۲}} = \mathbf{۲\frac{۱}{۲}} = \mathbf{۲.۵}$ * **شرط:** $\mathbf{\square}$ باید از $athbf{۲.۵}$ کوچکتر باشد (و مثبت باشد). ### ۱. انتخاب سه عدد باید سه کسر (یا عدد صحیح) مثبت انتخاب کنیم که از $athbf{۲.۵}$ کمتر باشند. * **مثال $\mathbf{۱}$ (کسر کوچکتر از $\text{۱}$):** $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ (چون $rac{۵}{۲} \div rac{۱}{۲} = \frac{۵}{۱} = ۵ > ۱$) * **مثال $\mathbf{۲}$ (عدد صحیح):** $\mathbf{۲}$ (چون $rac{۵}{۲} \div ۲ = rac{۵}{۴} = ۱\frac{۱}{۴} > ۱$) * **مثال $\mathbf{۳}$ (کسر بین $\text{۱}$ و $\text{۲}$):** $\mathbf{\frac{۴}{۳}}$ ($pprox ۱.۳۳$) (چون $rac{۵}{۲} \div rac{۴}{۳} = rac{۱۵}{۸} = ۱\frac{۷}{۸} > ۱$) **سه عدد پیشنهادی:** $athbf{\frac{۱}{۲}}, \mathbf{۲}, \mathbf{\frac{۴}{۳}}$ (هر عدد مثبت کوچکتر از $\mathbf{۲.۵}$ درست است.)